2007年6月15日 (金) 16:09にキリカによる

2007-06-15T16:09:33Z

キリカ: http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=バナッハ＝タルスキーのパラドックス&oldid=13049804

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[[Image:tarski.png|thumb|350px|バナッハ＝タルスキーのパラドックス: 球を適当に分割して、組み替えることで、元と同じ球を2つ作ることができる。]]

'''バナッハ＝タルスキーのパラドックス''' (Banach-Tarski paradox) とは、[[球]]を3次元[[空間]]内で、[[有限]]個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという[[定理]]（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できないので注意が必要である）。この操作を行うために球を最低 5 つに分割する必要がある。

この定理は[[選択公理]] (axiom of choice) という公理を用いると証明出来るが、その内容があまりにも直観に反するため、[[パラドックス]]と言われる。
[[ステファン・バナフ]]（バナッハ）と[[アルフレト・タルスキ]]が[[1924年]]に初めてこの定理を述べたときに意図していたのは、選択公理が正しくないと示すことであったが、この証明は殆どの[[数学者]]に、選択公理は奇怪で非直観的な結果を与えるものだ、と解釈された。

この定理は次のように述べることも出来る。
* 球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。
ただし、分割合同とは以下のように定義される:
''A'' と ''B'' を[[ユークリッド空間]]の[[部分集合]]とする。
''A'' と ''B'' が有限個の互いに交わらない部分集合の[[和集合|合併]]として
:<math>A=\bigcup_{i=1}^n A_i,\quad B=\bigcup_{i=1}^n B_i</math>
と表すことができ、全ての ''i'' について、<math>A_i</math> と <math>B_i</math> が合同であるとき、''A'' と ''B''を分割合同という。

さらに、この定理から次の、より強い形の系を導くことが出来る:
* 3次元ユークリッド空間の[[有界]]な部分集合で、[[内包]]が[[空集合|空]]でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、[[曲線]]や[[曲面]]ではないもの)を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。
言い換えると、ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る（当然のごとく材質は変えられない）、ということである。
このような分割においては、各断片は[[ルベーグ可測]]では'''ない'''。そのため、各断片は明確な[[境界]]や通常の意味での[[体積]]を持たない。物理的な分割では可測な集合しか作れないので、現実にはこのような分割は不可能である。
しかしながら、それらの'''幾何学的な形状'''に対してはこのような変換が可能なのである。

この定理は 3次元以上の全ての次元においても成り立つ。2次元[[ユークリッド平面]]においては成り立たないものの、2次元においても分割に関するパラドックスは存在する:
[[円 (数学)|円]]を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の[[正方形]]を作ることが出来るのである。これはタルスキーの円積問題([[:en:Tarski's circle-squaring problem]])として知られている。

2次元[[ユークリッド平面]]においては、合同変換ではなく面積を保つ変換に条件を弛めると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスと同様な定理が成立することを、[[1929年]]に[[ジョン・フォン・ノイマン]]が証明した。この定理は次のように述べることが出来る。

<blockquote>''A'' と ''B'' を2次元ユークリッド空間の内点を持つ有界な部分集合とする。 ''A'' と ''B'' が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として
:<math>A=\bigcup_{i=1}^n A_i,\quad B=\bigcup_{i=1}^n B_i</math>
と表すことが出来る。ここで、全ての ''i'' について、面積を保つ変換 <math>f_i</math> が存在して
:<math>B_i = f_i ( A_i )</math>
とする事が出来る。</blockquote>

==参考文献==
*[[志賀浩二]]　『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』　[[日本評論社]]、[[1988年]]。ISBN 4535781613
*[[砂田利一]]　『バナッハ・タルスキーのパラドックス』　[[岩波書店]]〈岩波科学ライブラリー〉、[[1997年]]。ISBN 4000065491

==外部リンク==
*[http://mathworld.wolfram.com/Banach-TarskiParadox.html Banach-Tarski Paradox -- From MathWorld（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）]（英語）
*[http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/student/btp/btp.html バナッハ・タルスキーのパラドックス]（和文）

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